Kategorie-Archiv: Mathematik

Formeln und Rechenanleitungen

Produktregel

Bei der Produktregel werden zwei Terme nach einem Ableitungsschema differenziert.

So wird lässt sich die Funktion (f(x)) in zwei einzelne Terme zerlegen:
produktrgel_vorstufe.jpg

Die Ableitung für die komplette Funktion funktioniert nach diesem Schema:
f'(x) = g'(x) · h(x) + h'(x) · g(x)

Für das Beispiel bedeutet dies, dass die Ableitung für den jeweiligen Term einzeln gebildet werden muss. Somit kann man sich das Ausklammern bzw. (Ein-)multiplizieren ersteinmal sparen.

Die Ableitung für g'(x) = 3 ; für h'(x) = 14x

Daher, f'(x) = 3x · (7x²+5) + 14x · (3x + 4)….

Hinweis zu Brüchen im Zusammenhang mit Ableitungen: Es kann vorkommen das ein Bruch in einer Funktion auftaucht, die differenzierbar (man kann die Ableitung bilden) ist. Dabei kann man sich schwertun, die Ableitung eines Bruchs zu bilden, eigentlich ist es jedoch ganz einfach.
Bsp: 1/X
Zunächst muss der Bruch in die Exponentialschreibweise gebracht werden, um die Ableitung bilden zu können. Diese würde in diesem Fall X(-)¹ (sprich: X hoch minus Eins). Dann wird die Ableitung nach dem bekannten Schema gebildet (-1 X hoch minus 2). Allgemein gilt, der Nenner eines Bruchs wird zum Exponenten. Die Ableitung wird – ausgegangen von der Exponentialschreibweise – wie bei den schon bekannten einfachen Ableitungen gemacht. Der Exponent wird um “1” verringert, der Faktor mit dem vorigen Exponenten multipliziert.

Mittlere Abweichung

Bei der mittleren Abweichung wird der jeweilige Abstand zum Durchschnitt (arithmetisches Mittel) berechnet:abweichung

xn xi Abweichung (Betrag)
x1 75 0
x2 73 2
x3 82 7
x4 74 1
x5 77 2
x6 69 6
x7 80 5
x8 71 4
x9 75 0
x10 74 1

Der Durchschnitt ist 75. Der Abstand ist die Differenz zwischen den jeweiligen Wert (xi) und dem Durchschnitt. Die mittlere lineare Abweichung vom Mittelwert ergibt sich aus dem gesamten Abweichungen die durch den Stichprobenumfang (n=10) dividiert werden:
mittlere lineare abweichung
Oder:
Lineare Abweichung

Ein Beispiel für die oben angegebene Liste:
lineare abweichung bsp

Median

(auch Zentralwert):
Der Median ist auch ein Mittelwert. Jedoch wird hier die Urliste in zwei Hälften geteilt. Dabei wird die Urliste aufsteigend sortiert:

xn xi
x1 69
x2 71
x3 73
x4 74
x5 74
x6 75
x7 75
x8 77
x9 80
x10 82

Beispiel:
Median Beispiel

Dabei gibt n den Umfang der Stichprobe an (n=10). Um den Median bestimmen zu können muss zuerst die Urliste sortiert werden. Danach wird n durch zwei geteilt (Achtung: Nur wenn n eine gerade Zahl ist!) und nocheinmal n durch zwei geteilt und darauf eins adiert. Also in diesem Beispiel 5 und 6. Diese Werte werden addiert (elf) und nun durch die entsprechenden Werte aus der Urliste ersetzt. Von diesen Werten die Mitte ist der Median.

Einfacher ist es wenn n eine ungerade Zahl ist. Dann ist der mittlere Wert automatisch der Median, sofern die Urliste aufsteigend sortiert wurde.

Arithmetisches Mittel

(auch Durchschnitt oder Mittelwert):
Den Mittelwert kann man mit verschiedenen Formeln bestimmen.

1. Formel:
1. Formel

2. Formel:
2. Formel

Die 2. Formel eignet sich wenn man für die Merkmalsausprägung schon eine Häufigkeit hat. Zum Beispiel falls 9 Schüler die Note “3” haben.
Oder man schreibt die Formel ohne Sigma auf:
Arithmetisches Mittel ohne Sigma

Für den Fall das man schon eine Häufigkeit hat:
Arithmetisches Mittel ohne Sigma mit Häufigkeit
Arithmetisches Mittel weiterlesen